所有音符都有特定的频率和波长，比如第一个音阶是这样的：

音符 频率(Hz) 波长(m)
\(C\) 16.351 20.812
\(C^\# / D^b\) 17.324 19.643
\(D\) 18.354 18.54
\(D^\# / E^b\) 19.445 17.5
\(E\) 20.601 16.518
\(F\) 21.827 15.59
\(F^\# / G^b\) 23.124 14.716
\(G\) 24.499 13.89
\(G^\# / A^b\) 25.956 13.11
\(A\) 27.5 12.374
\(A^\# / B^b\) 29.135 11.68
\(B\) 30.868 11.024


(数据来源)

如果我们把第一音阶和第九音阶的音符-频率-波长画出来，就会发现在同一个音阶里频率和波长的变化是很类似的。

又如果我们把十个音阶都描出来，就会发现频率和波长应该分别成指数递增和递减。

让我们先简单地假设音符的频率符合一个指数函数\(f(n)=e^{kn}\)，在此基础上，如果我们求得k，是不是我们就能“合成”更高，或者更低的音乐了呢？更进一步，在全音和半音之间我们能不能找到其他音呢？

其实，所有的音符频率的确是符合一个函数:$$f(n)=f(0)\cdot a^n$$ 这个函数中，\(f(0)\)是一个基准音的频率，一般选择\(A_4\)，也就是中音C上的第一个A。这个音的频率是\(f(0)=440\text{Hz}\)。这里\(a=2^{1/12}\)，\(n\)等于目标音符高于\(A_4\)的半分音符数量。至于为什么\(a=2^{1/12}\)（也就是为什么一个音阶是12个音符），可以参考这篇解释。

比如，\(C_5\)的频率为$$f(3)=f(0)\cdot a^3=440\cdot (2^{1/12})^3=523.251$$

有了这个公式，我们就可以回答上面的问题了。

更高的音

标准音阶中，最高的音是\(B_{9}\)，频率是15804.26 Hz。其实在人耳可听见的范围内\(\leq 20,000\text{Hz}\)，我们还可以听见这些音符：

音符 频率
\(C_{10}\) 16744.036
\(C^\#_{10}\) 17739.688
\(D_{10}\) 18794.545
\(D^\#_{10}\) 19912.126

然而，一般的设备是制造不出来这么高的音的。。

更低的音

其实，按照教课书（人听不见20Hz以下的声音），人是听不见这个标准音阶中最低的音\(C_0\)的（16.351 Hz)。

我用Mathematic试了一下，果然听不到，也有可能是软件不能生成这么低频的音。（或许你可以）

拓展音-半音和全音之间的音
如果我们把一个音阶分成24份，可能就会出现如下的键盘：

这里我用浅灰色和上标\(\delta\)代表全音的拓展音(e.g. \(C^{\delta}\))，用深灰色和上标\(\#\delta \)代表半音的拓展音(e.g. \(C^{\#\delta}\))。相应地，频率公式就应改写成：
$$f(n)=440\cdot (2^{1/24})^n$$

一起来听听看。

音符 频率 播放
\(C_5\) 523.251
\(C_5^{\delta}\) 538.584
\(C_5^{\# }\) 554.385
\(C_5^{\#\delta}\) 570.609
\(D_5\) 587.33
\(D_5^{\delta}\) 604.54
\(D_5^{\# }\) 622.254
\(D_5^{\#\delta}\) 640.487
\(E_5\) 659.255
\(E_5^{\delta}\) 678.573
\(F_5\) 698.456
\(F_5^{\delta}\) 718.923
\(F_5^{\# }\) 739.989
\(F_5^{\#\delta}\) 761.672
\(G_5\) 783.991
\(G_5^{\delta}\) 806.964
\(G_5^{\# }\) 830.609
\(G_5^{\#\delta}\) 854.948
\(A_5\) 880.
\(A_5^{\delta}\) 905.786
\(A_5^{\# }\) 932.328
\(A_5^{\#\delta}\) 959.647
\(B_5\) 987.767
\(B_5^{\delta}\) 1016.71